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\title{\heiti\zihao{2} 习题14.2}
\author{中书君}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{Bolzano-Weierstrass定理:证明:$ \mathbb{R}^{n}$ 上的有界无限点集至少有一个聚点.}
\begin{proof}
	注意到$\boldsymbol{x}_{k}$是有界无穷点列的充要条件是对每个$i$,$\boldsymbol{x}_{i_{k}}$都是有界序列.从而由列紧性原理,$\boldsymbol{x}_{1_{k}}$有使其为收敛子列的一系列$k_{m}'$,而$k_{m}$中又有使得$\boldsymbol{x}_{2_{k}}$收敛的子列,以此类推$n$次可得$\boldsymbol{x}_{k}$的子列$\boldsymbol{x}_{k_{m}}$,其满足每个分量组成的序列均是收敛序列,从而$x_{k_{m}}$是收敛子列,从而点集存在聚点.
\end{proof}

\section{用 $\Delta_{k}=\left[a_{k}, b_{k}\right] \times\left[c_{k}, d_{k}\right]$ 表示 $\mathbb{R}^{2}$ 上的闭矩形, 写出并证明 $\mathbb{R}^{2}$ 上的闭矩形套定理.}
设$F_{k}\in \mathbb{R}^{2}$是一系列闭矩形,并且成立:对$\forall k \in \mathbb{N},$有$F_{k}\subset F_{k+1}$,且$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}|a_{k}-b_{k}|=\lim\limits_{k\rightarrow \infty}|c_{k}-d_{k}|=0$,则有唯一一点$\boldsymbol{x}=\bigcap \limits_{k=1}^{\infty}F_{k}$.
\begin{proof}
    显然每个矩形的直径$\mathrm{diam}(F_{k})$的极限也为$0$.取$\boldsymbol{x}_{k}\in F_{k}$.当$k''>k'>K$时,有$|\boldsymbol{x}_{k''}-\boldsymbol{x}_{k'}|<\mathrm{diam}(F_{k'})<\varepsilon$,所以可见$\{\boldsymbol{x}_{k}\}$是收敛点列.记其聚点为$\boldsymbol{x}_{0}$,则由于$F_{k}$是闭集,从而$\boldsymbol{x}_{0}\in \bigcap \limits_{k=1}^{\infty}F_{k}$.\par
    于此同时,若有$\boldsymbol{x}'\in \bigcap \limits_{k=1}^{\infty}F_{k}$,则有$|\boldsymbol{x}_{0}-\boldsymbol{x}'|<\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\mathrm{diam}(F_{k})=0$,所以$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{x}_{0}$.
\end{proof}

\section{证明:有限个紧致集合的交集和并集仍为紧致集合.}
\begin{proof}
$E$为紧集的充要条件是$E$是有界闭集.而有限个有界闭集的交集和并集都是有界闭集,所以有限个紧集的交集和并集仍为紧集.
\end{proof}
\end{document}